\chapter{Konvergens karakteriseringer}

I dette kapilet vil vi se på hvordan net og filtre kan hjælpe i karakteriseringen af aflukningen af en mængde, kontinuitet, Hausdorff og kompakthed. Til alle karakteriseringer viser jeg at der findes ækvivalente karakteriseringer med både filtre og net. Sætningerne er hentet dels fra \cite{Pedersen}, men også fra sætninger og opgaver i \cite{Christenson} og \cite{Murdeshwar}. 

\begin{thm}[Net, filtre og aflukningen af en mængde]
  For et topologisk rum $(X, \tau)$, $A \subseteq X$ og $x \in X$ er følgende ækvivalent: \label{thm:netfilafl}
  \begin{enumerate}[i)]
  \item $x \in \overline{A}$.
  \item Der findes et net $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ i $A$ så $x_\lambda \rightarrow x$.
  \item Der findes et filter $\sF$ så $A \in \sF$ og $\sF$ konvergerer mod x. 
  \end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
\textit{i)} $\rightarrow$ \textit{ii):} Lad $x \in \overline{A}$ og dan nettet $N = (\OO(x), c)$, hvor $\OO(x)$ er får en retning med ordningen omvendt inklusion og $\morf{c}{\OO(x)}{X}$ er udvalgsafbildingen der sender en mængde $A \in \OO(x)$ ind i et element $c(A) \in A \cap B$. Dette er muligt da $A \cap B \neq \emptyset$ pr. \ref{lem:altaflukning} og da kan vi med udvalgsafbildingen vælge et element. 

\textit{ii)} $\rightarrow$ \textit{iii):} Da vi har et net $N = (\Lambda, i)$ i $A$ der konvergerer mod $x$ kan vi danne filtret $\Phi(N)$. Sammenhængen mellem konvergens af net og filtre, sætning \ref{thm:netfiltre}, giver nu at filtret konvergerer mod $x$ og da hele nettet ligger i $A$ må $A$ også ligge i filtret.

\textit{iii)} $\rightarrow$ \textit{i):} Antag nu der findes et filter $\sF$ så $A \in \sF$ og $\sF \rightarrow x$ og lad $B \in \OO(x)$. Men da nu både $A$ og $B$ ligger i filtret vil $A \cap B \neq \emptyset$ pr. definition af filtre. Så giver lemma \ref{lem:altaflukning} at $x \in \overline{A}$.
%Lad omvendt $x \in \overline{A}$. Så kan vi danne nettet $(\Lambda, i)$ hvor $\Lambda = \OO(x)$ med inklusionsordningen og $\morf{i}{\Lambda}{X}$ defineret ved $i(B) = x_B$ hvor $x_B$ er et element i $A \cap B \neq \emptyset$. Det giver at $(\Lambda, i)$ er et net i $A$ der konvergerer mod $x$.
% Hvis $x \in \overline{A}$ vil hver mængde i omegnsfiltret snitte ikke-tomt med $A$ og dermed kan vi for hvert $B \in \OO(x)$ finde et $x_B \in B \cap A$ og dermed danne et net $(x_B)_{x_B \in B \cap A}$ der ligger i A og konvergerer mod x. 
 % Omvendt, hvis vi har et net i $A$ der konvergerer mod $x \in X$ vil vi nettet for hver mængde, $B$, i omegnsfiltret fra et sted ligge i $B$ og dermed vil $A \cap B \neq \emptyset$.
\end{proof}

\begin{thm}[Net, filtre og kontinuitet]
  Lad $f$ være en funktion mellem to topologiske rum, $(X, \tau)$ og $(Y, \sigma)$ og $x \in X$. Da er følgende ækvivalent:
\begin{enumerate}[i)]
\item $f$ er kontinuert i $x$. Altså at for $f(x) \in U \in \sigma$ findes et $x \in V \in \tau$ så $f(V) \in U$. 
\item For hvert filter $\sF$ der konvergerer mod $x$ vil $f(\sF)$ konvergere mod $f(x)$.
\item For hvert net $(\Lambda, i)$ der konvergerer mod $x \in X$ vil nettet $(\Lambda, f \circ i)$ konvergere mod $f(x) \in Y$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
\textit{i)}$\Rightarrow$ \textit{ii):} Lad $\sF$ være et filter der konvergerer mod $x \in X$ og $f(x) \in V \in \sigma$. Da giver kontinuitet af $f$ at der findes et $x \in U \in \tau$ så $f(U) \subseteq V$ men så vil $V \supseteq f(U) \in f(\sF)$ og vi får at $V \in f(\sF)$ og dermed at $f(\sF)$ konvergerer mod $f(x)$. 

  \textit{ii)} $\Rightarrow$ \textit{iii):} Lad $N = (\Lambda, i)$ være et net i $X$ der konvergerer mod $x$. Da bliver filtret $\Phi(N)$ konvergent mod $x$ pr. sætning \ref{thm:netfiltre}. Nu giver \textit{ii)} at $f(\Phi(N))$ konvergerer mod $f(x)$. $\Phi(N)$ er genereret af filterbasen $\phi(N) = \{\{i(\lambda) \mid \lambda \geq \mu\} \mid \mu \in \Lambda\}$, og dermed vil $\{\{f \circ i (\lambda) \mid \lambda \geq \mu \} \mid \mu \in \Lambda\}$ en filterbasis for $f(\Phi(N))$. Dermed kan vi skrive filtret $f(\Phi(N))$ indekseret ved $\Lambda$. 

Nu kan vi gå tilbage til et net med konstruktionen $\Psi_\Lambda(f(\Phi(N)))$, hvor vi vælger afbildingen $\morf{f\circ i}{\Lambda}{Y}$. Det gør at nettet $(\Lambda, f \circ i)$ bliver det samme som $\Psi_\Lambda(f(\Phi(N))$ og det kommer dermed pr. \ref{thm:netfiltre} til at konvergere mod $f(x)$.

\textit{iii} $\Rightarrow$ \textit{i):} Hvis $f(x) \in V \in \sigma$ og der ikke findes et $U \in \tau$ så $x \in \tau$ og $f(U) \subseteq V$ eller med andre ord, at der ikke findes en åben mængde indeholdt i $f^{-1}(V)$ så $x$ ligger i den. Det betyder at $x \notin \mathring{f^{-1}(V)}$, og altså dermed at 
\[
  x \in X \setminus \mathring{(f^{-1}(V))} = \overline{(X \setminus f^{-1}(V))}
\]

Nu giver sætning \ref{thm:netfilafl} at der findes et net i $X \setminus f^{-1}(V)$ der konvergerer mod $x$. Det betyder at billedet af nettet vil konvergere mod $f(x)$ uden at ligge i $V$ på noget tidspunkt. Men det gav en modstrid, da $V$ er en omegn af $f(x)$. 
\end{proof}

\begin{thm}[Ækvivalent karakterisering af Hausdorff]
  Lad $(X,\tau)$ være et topologisk rum, da er følgende ækvivalent:
  \begin{enumerate}
  \item $X$ er Hausdorff.
  \item Ethvert net i $X$ konvergerer højest til et punkt. 
  \item Ethvert filter i $X$ konvergerer højest til et punkt. 
  \end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
\textit{i)} $\Rightarrow$ \textit{ii):}  Antag først at $X$ er Hausdorff og at $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ er et net der konvergerer til både $x$ og $y \in X$. Da findes $x \in A \in \tau$ og $y \in B \in \tau$ så $A \cap B = \emptyset$. Men det giver en modstrid, da nettet fra et sted ikke kan ligge både i $A$ og $B \subseteq X\backslash A$. 

\textit{ii)} $\Rightarrow$ \textit{iii):} Hvis et filter $\sF$ konvergerer mod både $x$ og $y \in X$ vil nettet $\Psi_\sF(\sF)$ også konvergere mod både $x$ og $y$ hvilket giver en modstrid. 

\textit{iii} $\Rightarrow$ \textit{i):} Antag der findes $x \neq y \in X$ så for alle omegne $x \in A \in \OO(x)$ og $y \in B \in \OO(y)$ vil $A \cap B \neq \emptyset$. Det betyder at $\OO(x) \cup \OO(y)$ vil være en filterbases for et filter $\sF$. Men da får vi en modstrid ved at $\sF$ klart konvergerer mod både $x$ og $y$. 
\end{proof}

\begin{lem}[Ækvivalente karakteriseringer af kompakthed] 
  I et topologisk rum $(X,\tau)$ er følgende udsagn ækvivalente: \label{karak:kompakt}
  \begin{enumerate}[i)]
  \item Enhver åben overdækning af X har en endelig deloverdækning. \label{kompakt_itm:1}
  \item Lad $\Delta$ være en mængde af lukkede delmængder af X. Hvis enhver endelig delmængde af $\Delta$ snitter ikke-tomt vil hele $\Delta$ også snitte ikke-tomt. \label{kompakt_itm:2}
  \item Ethvert filter har et fortætningspunkt. 
  \item Ethvert ultrafilter er konvergent. 
  \item Ethvert universelt net er konvergent. 
  \end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
\textit{i)} $\Rightarrow$ \textit{ii)}: Lad $\Delta$ være et system af lukkede delmængder af $X$. Antag at $\bigcap_{F \in \Delta} F = \emptyset$, da vil $\{X\backslash F \mid F \in \Delta \}$ være en åben overdækning af X. Pr. \textit{\ref{kompakt_itm:1})} kan den udtyndes til en endelig overdækning, $\{X\backslash F \mid F \in J\}$, hvor $J \subset \Delta$. Men det giver en modstrid da $\bigcap_{F \in J} F = \emptyset$.

\textit{ii)} $\Rightarrow$ \textit{iii)}: Lad $\sF$ være et filter i $X$. Definer mængden $\mathcal{C} = \{ \overline{F} \mid F \in \sF\}$. På grund af at snittet af mængder i filtret skal være et element i filtret, og dermed ikke tomt vil $\mathcal{C}$ være en mængde af lukkede delmængder med endeligt snit egenskaben og \textit{ii)} giver så at snittet af hele mængden ikke kan være tomt. Det er klart at ethvert element i hele snittet vil være et fortætningspunkt. 

\textit{iii)} $\Rightarrow$ \textit{iv):} Lad $\sU$ være et ultrafilter. Da det specielt er et filter vil det have et fortætningspunkt og da $\sU$ er et ultrafilter vil fortætningspunktet så også blive et konvergenspunkt.

\textit{iv)} $\Rightarrow$ \textit{i):} Lad $\{U_\alpha \mid \alpha \in \Delta\}$ være en åben overdækning af $X$ der ikke har en endelig deloverdækning. Dan familien af delmængder af $X$:  
\[
\mathscr{B} = \{ A \subseteq X \mid A = X \setminus U_J \text{ hvor } J \subseteq \Delta\text{ endelig}\}
\]

Da er $\mathscr{B}$ en basis for et filter: Hvis $A, B \in \mathscr{B}$ vil $A \cap B \in \mathscr{B}$ da foreningen af 2 endelige overdækninger også bliver endelig. Bemærk desuden at $A \cap B \neq \emptyset$ da vi ellers havde en endelig overdækning af $X$. Så lad $\sF$ være filtret genereret af $\mathscr{B}$. Da findes et universelt filter $\sU$ så $\sU \supseteq \sF$ der pr. antagelse er konvergent mod et $x \in X$. Men da $\{U_\alpha \mid \alpha \in \Delta\}$ var en åben overdækning af $X$ findes der et $U \in \mathscr{U}$ så $x \in U$ hvilket medfører at $U \in \sU$. Men da $X\setminus U \in \sF \in \sU$ har vi en modstrid da $X \setminus U \cap U = \emptyset \notin \mathscr{U}$.

\textit{iv)} $\Leftrightarrow$ \textit{v):} Denne biimplikation følger simpelt af korollaret \ref{cor:uninetultfil}
\end{proof}

\begin{rem}
Der er en række ækvivalente karakteriseringer af ovenstående der alle bygger på de indledende sætninger vi viste i første kapitel. Hvis ethvert universelt net er konvergent, og da ethvert net har et universelt delnet vil ethvert net have et konvergent delnet. Men det svarer til at nettet har et fortætningspunkt. Ligeledes gælder der også at ethvert filter er indeholdt i et konvergent filter.
\end{rem}
